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    微积分ii真题含答案
    xx





    2009-2010学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)
    一、填空题(每题3分,共30分)
    1、函数的定义域是____________.
    2、设

    ,则________________.
    3、广义积分的敛散性为_____________.
    4、____________
    .
    5、若
    .
    6、微分方程

    的通解是

    ____.
    7、级数
    的敛散性为

    .
    8、
    已知边际收益r/(x)=3x2 1000,r(0)=0,则总收益函数r(x)=____________.
    9、交换

    的积分次序=
    .
    10、微分方程
    的阶数为
    _____阶.
    二、单选题(每题3分,共15分)
    1、下列级数收敛的是(

    a,

    b,
    c,
    d,2、,微分方程的通解为()
       
    a,
    b, 

     c,
    d,

    3、设d为:,二重积分=(

    a,

    b,c,
    d,0

    4、

    a,b,

    c,d,

    5、=()a,
    0
    b,
    1
    c,
    2d,
    三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共32分)
    1.已知

    2.
    求,其中d是由
    ,x=1和x轴围成的区域。
    3.
    已知z=f(x,y)由方程确定,求
    4.判定级数的敛散性.
    四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
    1.
    求由
    和x轴围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
    2.
    已知x表示劳动力,y表示资本,某生产商的生产函数为,劳动力的单位成本为200元,,每单位资本的成本为400元,总预算为100000元,问生产商应如何确定x和y,使产量达到最大?。
    五、证明题(5分)
    广东商学院试题试题参考答案及评分标准
    2009-2010学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)
    一、填空题(每小题3分,共30分)
    1,
    2,3,发散4,0

    5,
    6,y=cx7,收敛8,r(x)=x3 1000x9,

    10,2
    二、单选题(每小题3分,共15分)
    1,b

    2,b3,c
    4,c
    5,d
    三、计算题(每小题8分,共32分)
    1、
    解:
    令2、3、整理方程得:4、先用比值判别法判别
    的敛散性,
    (2分)收敛,所以绝对收敛。(交错法不行就用比较法)
    (8分)
    四、应用题(每小题9分,共18分)
    1、解:2、
    解:约束条件为200x 400y-100000=0

    (2分)
    构造拉格朗日函数,
    (4分)

    ,求一阶偏导数,
    (6分)
    得唯一解为:,
    (8分)
    根据实际意义,唯一的驻点就是最大值点,该厂获得最大产量时的x为40,y为230.
    (9分)
    五、证明题(5分)
    证明:设对等式两边积分,得:(2分)
    (4分)
    解得:
    题设结论得证。

    (5分)广






    2010-2011学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)
    一、填空题(每题2分,共20分)
    1、函数的定义域是_______
    2、__________
    3、_______
    4、若___________
    5、设可微,则
    6.
    已知满足方程则
    _______
    7、交换的积分次序=__________________
    8、级数__________
    9、若级数的收敛,则k的取值范围是

    10、微分方程的通解是

    ____
    二、单选题(每题2分,共10分)
    1、若广义积分,则k=(

    a,b,
    c,
    d,2、若满足方程,则




    a,
    0b,1
    c,
    d,

    3、设d为:,二重积分=____________

    a,
    b,
    c,

    d,
    4、下列级数发散的是(
    )
    a,b,

    cd5、微分方程的阶数为


    a,1
    b,2c
    3d
    4
    三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共48分)
    1.计算
    2.
    已知,求
    3.
    计算二重积分,其中d由,,及所围成。
    4.求一阶线性微分方程的通解.
    5.
    判别级数的收敛性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
    6.
    计算定积分。
    四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
    1.
    求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
    2.
    某厂生产两种产品,产量分别为x和y,总成本函数,需求函数分别为(p1
    ,p2分别为两种产品的价格),产量受的限制,求该厂获得最大利润时的产量x和y。
    五、证明题(4分)
    证明:
    广








    2010-2011学年第二学期
    课程名称
    微积分ii(a卷)
    一、填空题(每题2分,共20分)
    1、,
    2、

    3、0

    4、


    5、0

    ,6.

    7、
    ,8、2

    9、
    ,10、
    (c为任意常数)
    二、单选题(每题2分,共10分)
    1、d
    2、d,
    3、
    c,4
    、b,
    5、c

    三、计算下列各题(本题共4小题,每小题8分,共48分)
    1.计算
    解:
    --------
    4分-----------8分
    2.
    已知,求
    解:两边去自然对数,
    两边关于x求偏导数,,
    ---------
    4分

    整理得所以------------
    8分
    3.
    计算二重积分,其中d由,,及所围成。
    解:画图(2分),
    y-型,
    -----------
    4


    -------------

    8分4.求一阶线性微分方程的通解.
    解:方法1:
    直接算,,,
    方法2:原方程可以化为


    直接代入公式,

    ------------
    4


    (c为任意常数)

    --------------
    8分
    5.这是一个交错级数,一般项为。
    先判断是否收敛,是一个p-级数,且p=,发散。
    ----------------2’----------------------------------4’----------------------------------6’
    根据莱布尼茨定理,级数收敛,而且是条件收敛。-----------------------------8’
    6.积分区间关于原点对称,又为偶函数,则=2

    ----------------------------------2’
    =--------------------------------4’
    =

    --------------------------------6’
    ==
    --------------------------------8’四、应用题(本题共2小题,每小题9分,共18分):
    1.
    求由曲线与所围成的图形的面积及该图形绕x轴旋转所得旋转体的体积。
    解:画图(2分)
    -----------------
    5分
    =

    ----------------
    9分
    2.
    某厂生产两种产品,产量分别为x和y,总成本函数,需求函数分别为(p1
    ,p2分别为两种产品的价格),产量受的限制,求该厂获得最大利润时的产量x和y。
    解:由题意知,收入函数为利润函数
    构造拉格朗日函数,
    -------------
    5分
    ,解得
    ----------------
    9分
    五、证明题(4分)
    利用级数的敛散性,证明:
    证明:先证明级数收敛,用比值判别法
    ,所以级数收敛
    由级数收敛的必要条件知道,,即广







    2011-2012学年第_2_学期
    课程名称
    微积分ii(a卷)

    一、填空题(每小题3分,共15分)
    1.
    设,则=
    .

    2.

    时,
    收敛.
    3.
    交换积分次序
    .

    4.
    已知级数收敛,则=
    .
    5.
    若,其中具有二阶偏导数,则=
    .
    二、
    单选题(每小题3分,共15分)

    1.().
    (a)
    ;

    (b)

    ;

    (c)
    ;

    (d).
    2.
    函数在上可积的必要条件是在上(


    (a)连续
    ;
    (b)有界;
    (c)
    无间断点;(d)有原函数.
    3.下列反常积分收敛的是()

    (a);
    (b)
    ;
    (c)
    ;
    (d)
    .
    4.下列级数发散的是().
    (a)
    ;
    (b)
    ;(c)
    ;(d)
    .5.
    微分方程的通解是(
    )
    (a)
    ;
    (b)
    ;
    (c)
    ;
    (d).
    三、计算题i(每题6分,共24分)

    1.求.
    2.设,求.
    3.
    求,其中d由围成.
    4.
    判别级数的敛散性.四、计算题ii(每题8分,共24分)
    5.
    求.
    6.
    设由方程确定,其中可微,求.
    7.求微分方程的特解.五、应用题(每小题8分,共16分)
    1.求由与所围成的平面图形的面积,并求此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积.
    2.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元)

    已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有该原料12吨,问两种产品各生产多少时,总
    利润最大?最大利润是多少?六、证明题(6分)
    证明:若收敛,则发散.
    广东商学院试题参考答案及评分标准
    2011-2012学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)

    一、1.;
    2.;
    3.;
    4.;
    5.
    .
    二、bbacd
    三、1.解:原式=

    (3分).
    (6分)
    2.解:(2分)
    (4分)(6分)
    3.
    解:原式= 

    (2分)(4分).(6分)4.解:记,取(4分)


    收敛故原级数收敛.
    (6分)
    四、5.解:令,即,则
    当时,
    (2分)
    故原式(4分)(6分)

    .
    (8分)
    6.解:记
    (4分)
    (8分)

    7.解:原方程可化为------一阶线性微分方程此时,(2分)

    故原方程的通解为
    (4分)
    (6分)
    由,得
    从而,所求原方程的特解为
    .

    (8分)
    五、1.
    解:1>
    故所求图形的面积为

    (4分)
    2>所求旋转体的体积为

    (5分).
    (8分)

    2.解:显然,有条件成立,作辅助函数
    (3分)


    解之得唯一驻点
    (6分)
    故当生产甲产品3.8千件,乙产品2.2千件时,利润最大,且最大利润为
    (万元).
    (8分)
    六、证明:证明:由于
    (3分),
    又因为
    收敛,
    故收敛,从而,绝对收敛.
    (6分)广







    2012-2013学年第_2_学期课程名称
    微积分ii(a卷)

    一、填空题(每小题3分,共30分)
    1.
    函数的定义域是
    .
    2..
    3.
    若___________.
    4.
    设有连续的二阶偏导数,则

    .
    5.
    =.
    6.
    广义积分收敛,则.
    7.
    交换积分次序=
    .

    8.
    设d为所围区域,则
    .
    9.
    =

    .
    10.
    方程是

    阶微分方程
    .三、
    单选题(每小题3分,共15分)

    1.广义积分收敛于().
    a.0
    ;

    b.

    ;

    c.
    ;

    d..
    2.
    设积分区域d是().
    a.;b.;c.;
    d..3.下列级数中条件收敛的是().
    a.;
    b.;
    c.;
    d..
    4.设,其中可微,则()
    a.
    ;
    b.
    c.
    d.
    5.微分方程的通解是(

    )。
    a.
    ;b.
    ;
    c.;
    d.
    .
    三、计算题(每题8分,共32分)

    1.求.
    2.设d由曲线围成,求
    3.
    已知,求.
    4.
    判别级数的敛散性.
    四、应用题(每小题9分,共18分)
    1.设d由与所围成,求:(1)平面图形的面积;(2)此图形绕轴旋转一周所成旋转体的体积。
    2.某厂生产两种产品,当产量分别为时,成本函数,需求函数分别为,分别为两种产品的价格,产品受的限制,求工厂获得最大利润时的产量和价格。
    五、证明题(5分)
    设,其中f可微。证明:.

    广东商学院试题参考答案及评分标准
    2012-2013学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)
    一.
    1.;
    2.
    0
    ;
    3.
    ;
    4.
    ;5.
    0
    ;

    6.
    ;
    7.
    ;
    8.
    2(2ln2-1);
    9.
    1;
    10.
    2.
    二.c
    a
    d
    c
    b
    三.1.解:原式=
    (3分)(6分)(8分)
    2.解:画积分区域草图,联立方程求交点得:,(2分)
    原式=.
    (4分)(5分)

    (8分)
    3.解:
    令,则
    (3分)(5分)
    (8分)
    4.解:用比值判别法
    (2分)
    (4分)

    (6分)原级数收敛.(8分)
    四.1.
    解:(1),
    (2分)
    故所求图形的面积为

    (5分)
    (2)所求旋转体的体积为

    .

    (9分)
    2.解:由需求函数x,y得:

    利润函数=
    =(2分)作辅助函数

    =

    (4分)


    解之得唯一驻点
    (6分)
    故当生产产量分别为及时工厂获得的利润最大,此时两种产品的价格分别为
    (9分)
    五.证明:(3分),

    .(5分)故等式成立。
    广







    2012-2013学年第_2_学期
    课程名称
    微积分ii(b卷)
    一、填空题(每小题3分,共30分)
    1.函数的定义域是
    .
    2.设域是,则
    .
    3.交换积分次序.
    4.设资本投入为,劳动投入为时,某产品的产出量为,且为常数,则对资本的偏弹性

    ,对资本的偏弹性

    .
    5.设

    .
    6.若则

    .
    7.当满足条件
    时收敛。
    8.微分方程的通解为

    .
    9.设,其中可微,则

    .
    10..
    二、单项选择题(每小题3分,共15分)
    1.

    =(

    ).
    a.;

    b.
    ;
    c.
    ;d..
    2.

    已知,则(
    ).
    a.
    b.
    c.
    d..
    3.若,则(

    ).
    a.
    b.

    c.
    d.
    4.下列级数发散的是(
    )
    a.
    ;
    b.
    ;
    c
    .;
    d
    .
    .
    5.微分方程的阶数为(
    ).
    a
    .
    3

    ;b.
    4
    ;
    c
    .2
    ;

    d.
    6.三.
    计算题(每小题8分,共32分)
    1.设,求.
    2.若d是由所围成的区域,求之值。
    3.判别级数的收敛性。
    4.求方程的通解。
    四.应用题(每小题9分,共18分)
    1.设平面区域d由抛物线与直线
    围成,求:(1)d的面积;(2)d绕轴旋转一周所得立体的体积。
    2.设某种产品的产量是劳动力和原料的函数,若劳动力单价为100元,原料单价为200元,则在投入3万元资金用于生产的情况下,如何安排劳动力和原料,可使产量最多。
    五.证明题(5分):
    证明:.

    广东商学院试题参考答案及评分标准
    2012-2013学年第二学期课程名称
    微积分ii(b卷)

    一.
    1.;
    2.;
    3.;
    4.;

    5.
    ;6.
    5
    ;
    7.
    ;
    8.
    y=;
    9.
    .10.tanx
    二.
    d
    b
    a
    d
    a
    三.
    1.解:
    令,

    (2分)

    (4分)(8分)
    .2.解:
    联立
    解得两个交点坐标
    (2分)

    (4分)
    (8分)

    3.解:
    (4分)
    (4分)
    又是几何级数,公比收敛
    故由比较判别法知原级数收敛.
    (8分)
    (或者用比较判别法的极限形式)
    4.
    解:,代入原方程得
    (2分)

    分离变量

    (4分)
    两边积分

    回代得方程的解
    (8分)
    四.1.
    解:(1),
    故所求图形的面积为

    (4分)
    (2),所求旋转体的体积为
    (9分)  
    2.
    解:显然,有条件成立,作辅助函数

    (3分)

    (5分)解之得唯一驻点
    (7分)
    由问题实际意义知最大产量存在,故当劳动力为单位,原料为单位时产量最大。
    (9分)五.证明:交换积分次序:
    等式左边==右边.故等式成立。

    广








    2014-2015
    学年第_
    2__学期课程名称
    微积分ii(a卷)

    一、
    填空题(每题3分,共30分)
    1.函数的定义域是
    .
    2.=
    .
    3.=_
    ___

    __
    .
    4.
    =.
    5.
    =

    .
    6.
    =??????????????.
    7.
    设,其中
    在d上连续,则
    =

    .
    8.
    方程是

    阶微分方程
    .
    9.
    设,则
    =
    .
    10.交换积分次序=
    .
    二、
    单选题(每题3分,共15分)
    1.
    =(

    ).
    a.
    .??????b.

    2.???????c.

    0.????d.
    1.
    2.

    ,其中可微,则
    =(

    ).
    a.
    b.
    c.d.
    1
    3.


    则=().
    a.
    b.

    c.

    d.
    4.
    设d由圆周,及直线所围的第一象限部分,二重积分的值=(???).
    a..????????b..???????c..????d..
    5.
    下列级数发散的是(
    )
    .
    a.b.
    c.
    d.
    三、
    计算题(每题8分,共32分)
    1
    .
    求。
    2.
    设由方程确定,求。
    3.
    求。
    4.
    求微分方程的通解。
    四、应用题(每题9分,共18分)
    1.
    设平面区域d由曲线围成,求d的面积及d绕x轴旋转所成的旋转体的体积。
    2.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元),已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料2吨,现有原料10吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?五、证明题(5分)
    证明
    广东财经大学试题参考答案及评分标准
    2014-2015学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)

    一、
    填空题(每小题3分,共30分)
    1.
    ;
    2.
    ;
    3.
    0;
    4.
    1;

    5.
    1
    ;

    6.
    2
    ;
    7.
    2;
    8.
    二;

    9.

    10.
    .
    二、单选题(每小题3分,共15分)
    1.
    a

    2
    .
    b3.
    a
    4.
    b5.
    c
    三、计算题(每小题8分,共32分)

    1
    .
    解:




    原式(5分).
    (8分)
    2.
    解设

    (5分)
    (8分)
    3.
    解:
    (4分)

    (6分)
    (8分)
    4.
    解:
    代入原方程得
    分离变量
    (4分)两边积分(6分)


    故原方程的通解为

    (
    c
    为任意常数
    )(8分)
    四、应用题(每小题9分,共18分)
    1.
    先求的交点(0,0),(1,1)

    (4分)
    (9分)
    2.
    解:显然,有条件成立,作辅助函数

    (3分)


    解之得唯一驻点
    (7分)
    故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为

    (9分)
    五、证明题(5分)
    证明:考察级数,由于(3分)
    所以此级数收敛,故
    (5分)
    广








    2014-2015
    学年第_
    2__学期课程名称
    微积分ii(b卷)

    一、填空题(每题3分,共30分)
    1.函数的定义域是
    .
    2.=
    .
    3.
    设,则=??????????????.
    4.=_
    ___

    __
    .
    5.
    =

    .
    6.
    =.
    7.
    设,其中
    在d上连续,则
    =

    .
    8.
    方程是

    阶微分方程
    .
    9.
    设,则
    =
    .
    10.交换积分次序=
    .
    二、单选题(每题3分,共15分)1.
    在上的平均值是().
    a.
    b.

    c.

    d.2.
    =(

    ).
    a.
    .??????b.

    .???????c.

    .????d.

    3.
    设d由圆周,及直线所围的第一象限部分,二重积分的值=(???).
    a..????????b..???????c..????d..4.

    ,其中可微,则
    =(

    ).
    a.
    b.
    c.d.
    5.
    下列级数发散的是(
    )
    .
    a.b.
    c.
    d.
    三、计算题(每题8分,共32分)
    1
    .
    求。
    2.
    设由方程确定,求。
    3.
    求。
    4.
    求微分方程
    的通解。
    四、应用题(每题9分,共18分)
    1.设某工厂生产甲和乙两种产品,产量分别为x和y(千件),利润函数为(万元),已知生产每千件甲或乙产品均需要消耗某原料1吨,现有原料5吨刚好用完,问两种产品各生产多少时,总利润最大?最大利润是多少?
    2.
    设平面区域d由曲线围成,求d的面积及d绕x轴旋转所成的旋转体的体积。五、证明题(5分)
    证明

    广东财经大学试题参考答案及评分标准
    2014-2015学年第二学期课程名称
    微积分ii(b卷)
    一,
    填空题(每小题3分,共30分)
    1.
    ;
    2.
    ;
    3.
    0;
    4.
    0;
    5.
    3
    ;
    6.
    6
    ;
    7.
    7;

    8.
    二;

    9.

    10.
    .
    二,
    单选题(每小题3分,共15分)
    1.
    b

    2
    .
    a3.
    b
    4.
    a5.
    d
    三,
    计算题(每小题8分,共32分)

    1
    .
    解:
    (4分)(8分)2.
    解设

    (3分)
    (6分)(8分)
    3.
    解:
    (4分)

    (6分)

    (8分)5.
    解:
    分离变量

    (3分)
    两边积分(5分)

    得故原方程的通解为
    (
    c
    为任意常数
    )

    (8分)
    四,
    应用题(每小题9分,共18分)
    1.
    解:显然,有条件成立,作辅助函数

    (3分)


    解之得唯一驻点
    (7分)
    故当生产甲产品3千件,乙产品2千件时,利润最大,且最大利润为

    (9分)

    2.
    (4分)
    (9分)五,
    证明题(5分)
    证明:考察级数,由于
    (3分)
    所以此级数收敛,故
    (5分)
    广








    2015-2016
    学年第_
    2__学期课程名称
    微积分ii(a卷)

    四、
    填空题(每题3分,共30分)
    1.函数的定义域是
    .
    2.
    =
    .
    3.
    =_
    ___

    __
    .
    4.
    =.
    5.
    =

    .
    6.
    广义积分收敛,则.
    7.
    设,其中
    在d上连续,则
    =

    .
    8.
    方程是

    阶微分方程
    .
    9.
    设,则
    =
    .
    10.交换积分次序=
    .
    五、
    单选题(每题3分,共15分)
    1.
    =(

    ).
    a.
    .??????b.

    2.???????c.

    0.????d.
    1.
    2.
    函数,,由方程所确定,则
    =(

    ).
    a.
    2b.
    -1

    c.
    1
    d.
    -2
    3.


    则=().
    a.
    b.

    c.

    d.
    4.
    可偏导的函数取得极值点必为(???).
    a.零点.????????b.驻点.???????c.不可导点.????d.驻点或不可导点.
    5.
    下列级数发散的是(
    )
    .
    a.b.c.
    d.
    六、
    计算题(每题8分,共32分)
    1
    .
    求。
    2.
    设由方程确定,求。
    3.
    计算d由和围成的区域
    4.
    求微分方程的通解。
    四、应用题(每题9分,共18分)
    1.
    设平面区域d由曲线围成,求d的面积及d绕x轴
    旋转所成的旋转体的体积。
    2.销售收入q与用两种广告手段的费用x和y之间的函数关系为

    ,净利润是销售收入的减去广告成本,而广告预算是25,
    试确定如何分配两种手段的广告成本,以使利润最大?最大利润是多少?五、证明题(5分)
    证明
    广东财经大学试题参考答案及评分标准
    2015-2016学年第二学期课程名称
    微积分ii(a卷)
    一、填空题(每小题3分,共30分)
    1.
    ;
    2.
    ;
    3.
    0;
    4.
    1;

    5.
    2
    ;

    6.
    >3
    ;
    7.
    1;
    8.
    二;

    9.

    10.
    .
    二、单选题(每小题3分,共15分)
    1.
    a

    2
    .
    b3.
    a
    4.
    b5.
    c
    三、计算题(每小题8分,共32分)

    1
    .
    解:




    原式(5分).
    (8分)
    2.
    解设则
    (5分)

    (8分)
    3.
    解:原式
    (4分)

    (6分)
    (8分)
    5.
    解:由于,由公式得其通解(4分)
    ==

    (6分)

    故原方程的通解为

    (
    c
    为任意常数
    )
    (8分)
    四、应用题(每小题9分,共18分)
    1.
    先求的交点(0,0),(1,1)

    (4分)
    (9分)
    2.
    解:显然,有条件成立,所求利润函数
    3.
    作拉格朗日函数

    (3分)


    解之得唯一驻点
    (7分)
    故当两种广告费用分别为15,10时,利润最大,且最大利润为

    (9分)
    五、证明题(5分)
    证明:令,则
    于是=

    (3分)
    所以原式成立

    (5分)
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